Activité 7 - Suites - Réseau social InstaBook

Présentation de l'activité

• Références au programme:
  • Spécialité mathématiques de première générale: Calcul de termes d’une suite, de sommes de termes, de seuil.
  • Tronc commun de première de la voie technologique : Calcul d'un terme de rang donné d’une suite, d'une somme finie de termes.
  • Tronc commun de première de la voie technologique : Déterminer une liste de termes d’une suite et les représenter.
  • Tronc commun de première de la voie technologique : Algorithme de seuil.
• Description : Activité classique d'étude d'une suite arithmético-géométrique mise en contexte.

Situation

Le nouveau réseau social $\texttt{InstaBook}$ avait $100\ 000$ inscrits en janvier $2018$. Chaque mois, on peut estimer que $5\%$ des membres se désinscrivent (on arrondira à l'entier inférieur) et qu'il y a $20\ 000$ nouveaux inscrits. Pour un entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre d'inscrits au bout de $n$ mois depuis janvier $2018$. Par exemple $u_{0}$ représente le nombre d'inscrits en janvier $2018$ et $u_{5}$ représente le nombre d'inscrits en juin $2018$.

On a $u_0=100\ 000$ et $\forall n>0,\ u_{n+1}=\textrm{Ent}(0.95\times u_n)+20\ 000$.

Suggestions pédagogiques

• Mathématiques débranchées
  • Calculer $u_2$ (sans programmation).
  • Expliquer la relation de récurrence entre $u_n$ et $u_{n+1}$.

Nombre d'inscrits au bout de $n$ mois

La fonction nombreInscrits prend en paramètre un entier n correspondant au nombre de mois écoulés depuis janvier 2018. Elle renvoie la valeur de $u_n$.

def nombreInscrits(n):
    u = 100000
    for i in range(n):
        u = int(0.95*u)+20000
    return u
print("Nombre d'inscrits au bout de 10 mois :",nombreInscrits(10))

Nombre d'inscrits au bout de 10 mois : 220375

Suggestions pédagogiques

• Compléter un programme

  Le programme précédent étant fourni en remplaçant les lignes 2 et 4 par u = ... et ... = ..., demander aux élèves de compléter les lignes 2 et 4. .

• Expliquer un programme

  Que fait la ligne 4 ?

• Tester la fonctionnombreInscrits pour déterminer le nombre d'inscrits en février $2029$.

Évolution du nombre d'inscrits

La fonction tableauNombreInscrits prend en paramètre un entier n correspondant au nombre de mois écoulés depuis janvier 2018. Elle renvoie une liste contenant les nombres d'inscrits tous les mois jusqu'au $n$-ième mois.

def tableauNombreInscrits(n): 
    tab = []
    u = 100000
    for i in range(n):
        u = int(0.95*u)+20000
        tab.append(u) 
    return tab

Suggestions pédagogiques

• Compléter un programme

  Le programme précédent étant fourni en remplaçant la ligne 6 par ...append(...), demander aux élèves de compléter la ligne 6. .

• Expliquer un programme

  Que fait la ligne 4 ?

• Tester la fonction tableauNombreInscrits pour différentes valeurs et conjecturer une tendance.

Représentation graphique du nombre d'inscrits en fonction du temps

Le programme suivant permet la représentation des termes de la suite $(u_n)$ en fonction de $n$ pour $n$ allant de 0 à 100.

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt

n = 100

plt.plot(tableauNombreInscrits(n),'.')
plt.show()

Suggestions pédagogiques

• Conjecturer

  Quelle conjecture peut-on émettre sur l'évolution du nombre d'inscrits à long terme ?

Calcul de seuil

Le réseau social projette de réaliser des investissements (serveurs, publicité, etc.) à partir de $250\,000$ inscrits. La fonction seuil calcule le nombre de mois nécessaires pour atteindre un nombre d'inscrits k. Elle prend en paramètres le nombre k d'inscrits à atteindre et renvoie le nombre de mois nécessaires.

def f(x):
    return 0.95*x+20000

def seuil(k):
    u = 100000
    n = 0
    while u<k:
        u = f(u)
        n = n+1
    return n

nbMois = seuil(250000)
print(nbMois)

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Suggestions pédagogiques

• Compléter un programme

  Le programme précédent étant fourni en remplaçant les lignes 7, 8 et 9 par while ..., ... = f(...),n = ..., demander aux élèves de compléter les lignes 7, 8 et 9.

• Expliquer un programme

  Que font les lignes 7, 8 et 9 ?

• Tester la fonction seuil afin de déterminer le nombre de mois au bout desquels il faut réaliser des investissements.

• Écrire un programme

  Écrire une fonction permettant de déterminer le nombre de mois au bout desquels il faut réaliser des investissements.