Activité 12 - Méthode d'Euler pour le calcul approché de primitives

Présentation

  • Référence au programme :
    • Spécialité physique-chimie et mathématiques de première technologique : Construire différents points d’une approximation de courbe intégrale par la méthode d’Euler.
  • Description de l'activité : Cette activité permet aux élèves d'utiliser la méthode d'Euler pour obtenir des courbes approchées de primitives des fonctions $t\mapsto \frac{1}{t}$ et $t\mapsto \frac{1}{1+t^2}$. La méthode d'Euler est utilisée en physique.

Implémentation de la méthode

La fonction Euler prend en paramètres une fonction f, des flottants a, Fa et b et un entier n. Elle renvoie en sortie deux listes permettant de construire la courbe de la primitive de la fonction $f$ prenant en $a$ la valeur $F_a$, que l'on peut interpréter comme la solution de l'équation différentielle $y'(x)=f(x)$ vérifiant $y(a)=F_a$.

In [1]:
def Euler(f,a,Fa,b,n):
    dt = (b-a)/n
    listeEulerAbscisse = [a]
    listeEulerOrdonnee = [Fa]
    x = a
    y = Fa
    for i in range(n):
        x = x + dt
        y = y + f(x)*dt
        listeEulerAbscisse.append(x)
        listeEulerOrdonnee.append(y)
    return listeEulerAbscisse,listeEulerOrdonnee
Suggestions pédagogiques

  • Expliquer un programme

    • Que fait la fonction Euler ?
    • Que représente Fa à la ligne 4 ?
    • Que représente dt ?

  • Compléter un programme

    Le programme précédent étant fourni en remplaçant les lignes 4, 6, 8 et 9 par listeEulerOrdonnee = [...], y = ..., x = ..., y = ..., demander aux élèves de compléter les lignes 4, 6, 8 et 9.

  • Écrire un programme

    Écrire la fonction Euler.

Définition des fonctions sur lesquelles on souhaite appliquer la méthode d'Euler

On applique la méthode d'Euler pour tracer les courbes approchées des primitives $F$ et $G$ des fonctions $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ et $g:x\mapsto \frac{1}{1+t^2}$ vérifiant les conditions initiales $F(1)=0$ et $G(0)=0$.

In [2]:
def f(t):
    return 1/t

def g(t):
    return 1/(1+t**2)
Suggestions pédagogiques

  • Écrire un programme

    Écrire les fonctions informatiques f et g représentant les fonctions mathématiques $f$ et $g$.

Représentation d'une primitive de la fonction $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ par la méthode d'Euler

On souhaite maintenant représenter une approximation de la fonction $F$ sur $[1,10]$ pour $1000$ itérations.

Importation de la bibliothèque graphique :

In [3]:
from matplotlib.pyplot import plot,show
In [4]:
n = 1000

X,Y = Euler(f,1,0,10,n)

plot(X,Y,'b')
show()
Suggestions pédagogiques

  • Compléter un programme

    Le programme précédent étant fourni en remplaçant la ligne 3 par X,Y = Euler(...), demander aux élèves de compléter la ligne 3.

Représentation d'une primitive de la fonction $g:t\mapsto \frac{1} {1+t^2}$ par la méthode d'Euler

Dans cette partie, on souhaite approcher la courbe de la primitive $G$ de la fonction $g:t\mapsto \frac{1} {1+t^2}$ sur $[0,10]$ vérifiant $G(0)=0$. Il faut donc distinguer deux cas. Cette courbe va être construite en partant de $0$ vers la droite puis vers la gauche. L'un avec un $dt$ positif qui construira la courbe «vers la droite» et l'autre avec un $dt$ négatif qui construire la fonction «vers la gauche».

In [5]:
n = 1000

# dt positif de x=0 à x=2
X,Y = Euler(g,0,0,10,n)
plot(X,Y,'b')
# dt négatif de x=0 à x=-2
X,Y = Euler(g,0,0,-10,n)
plot(X,Y,'b')
show()
Suggestions pédagogiques

  • Expliquer un programme

    • Comment expliquer la symétrie de la courbe obtenue ?
    • Distinguer la partie de la courbe liée à la ligne 5 de celle liée à la ligne 7.

Animation susceptible d'être présentée aux élèves

Cette animation permet de visualiser la construction approchée par la méthode d'Euler des primitives des fonctions $f:t\mapsto \frac{1}{t}$ et $g:x\mapsto \frac{1}{1+t^2}$ vérifiant les conditions initiales $F(1)=0$ et $G(0)=0$.

In [6]:
%matplotlib inline
import matplotlib.animation
from IPython.display import HTML
from matplotlib.pyplot import close,subplots
#ctes: 
n =50
#Création des figures
fig, (ax1,ax2) = subplots(1, 2,figsize=(12, 6))
courbeEulerG, = ax2.plot([],[],'.-',color="#1e7fcb")
courbeEulerD, = ax2.plot([],[],'.-',color="#1e7fcb")
courbeEuler, = ax1.plot([],[],'.-',color="#C4151C")
#Réglage des axes
ax1.set_xlim(( 0.1, 40))
ax1.set_ylim(( 0, 6))
ax2.set_xlim(( -10, 10))
ax2.set_ylim(( -2, 2))

def init():
    global courbeEuler
    courbeEulerG.set_data([], [])
    courbeEulerD.set_data([], [])
    courbeEuler.set_data([], [])
    return (courbeEuler,) 

def animate(i):
    global courbeEuler,courbeEulerG,courbeEulerD
    n = i+1
    listeX1,listeY1 = Euler(f,1,0,40,n)
    
    listeX2dte,listeY2dte = Euler(g,0,0,10,n)
    listeX2gch,listeY2gch = Euler(g,0,0,-10,n)
    
    courbeEulerG.set_data(listeX2gch,listeY2gch)
    courbeEulerD.set_data(listeX2dte,listeY2dte)
    courbeEuler.set_data(listeX1,listeY1)
    ax1.set_title('Primitive de $t \mapsto \dfrac{1}{t}$',y=1.02,color="#C4151C")
    ax2.set_title('Primitive de $t \mapsto \dfrac{1}{1+t^2}$',y=1.02,color="#1e7fcb")
    return (courbeEuler,)
  
close ()
ani = matplotlib.animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=n,init_func=init,blit=False,interval=200)
# l'un ou l'autre
HTML(ani.to_jshtml())
#HTML(ani.to_html5_video())
Out[6]:


Once Loop Reflect